Tối ưu hóa (toán học) – Wikipedia tiếng Việt

Trong toán học, thuật ngữ tối ưu hóa chỉ tới việc nghiên cứu các bài toán có dạng

Cho trước: một hàm f: A → { \ displaystyle \ to }\to R từ tập hợp A tới tập số thực
Tìm: một phần tử x0 thuộc A sao cho f(x0) ≤ f(x) với mọi x thuộc A (“cực tiểu hóa”) hoặc sao cho f(x0) ≥ f(x) với mọi x thuộc A (“cực đại hóa”).

Một phát biểu bài toán như vậy đôi khi được gọi là một quy hoạch toán học (mathematical program). Nhiều bài toán thực tế và lý thuyết có thể được mô hình theo cách tổng quát trên.

Miền xác định A của hàm f được gọi là không gian tìm kiếm.
Thông thường, A là một tập con của không gian Euclid Rn, thường được xác định bởi một tập các ràng buộc, các đẳng thức hay bất đẳng thức mà các thành viên của A phải thỏa mãn. Các phần tử của A được gọi là các lời giải khả thi. Hàm f được gọi là hàm mục tiêu, hoặc hàm chi phí. Lời giải khả thi nào cực tiểu hóa (hoặc cực đại hóa, nếu đó là mục đích) hàm mục tiêu được gọi là lời giải tối ưu.

Thông thường, sẽ có một vài cực tiểu địa phương và cực đại địa phương, trong đó một cực tiểu địa phương x* được định nghĩa là một điểm thỏa mãn điều kiện:

với giá trị δ > 0 nào đó và với mọi giá trị x sao cho

‖ x − x ∗ ‖ ≤ δ { \ displaystyle \ | \ mathbf { x } – \ mathbf { x } ^ { * } \ | \ leq \ delta }{\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{*}\|\leq \delta }

công thức sau luôn đúng

f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) { \ displaystyle f ( \ mathbf { x } ^ { * } ) \ leq f ( \ mathbf { x } ) }{\displaystyle f(\mathbf {x} ^{*})\leq f(\mathbf {x} )}

Nghĩa là, tại vùng xung quanh x *, mọi giá trị của hàm đều lớn hơn hoặc bằng giá trị tại điểm đó. Cực đại địa phương được định nghĩa tương tự như. Thông thường, việc tìm cực tiểu địa phương là thuận tiện – cần thêm những thông tin về bài toán ( ví dụ điển hình, hàm mục tiêu là hàm lồi ) để bảo vệ rằng giải thuật tìm được là cực tiểu toàn cục .
Các bài toán tối ưu hóa thường được màn biểu diễn bằng những ký hiệu đặc biệt quan trọng. Dưới đây là một vài ví dụ :

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số[sửa|sửa mã nguồn]

Xét ký hiệu sau đây :

min

x

R

x

2

+
1

{\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;x^{2}+1}

{\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;x^{2}+1}

Đây là ký hiệu cho giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu

x

2

+
1

{\displaystyle x^{2}+1}

{\displaystyle x^{2}+1}, với

x

{\displaystyle x}

x nằm trong tập số thực

R

{\textstyle \mathbb {R} }

{\textstyle \mathbb {R} }. Giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là

1

{\displaystyle 1}

1, xảy ra tại

x
=
0

{\displaystyle x=0}

{\displaystyle x=0}.

Tương tự thì ký hiệu

max

x

R

2
x

{\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}

{\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}

chỉ ra giá trị lớn nhất cho hàm mục tiêu

2
x

{\displaystyle 2x}

{\displaystyle 2x}, với

x

{\displaystyle x}

là một số thực. Trong trường hợp này, không có giá trị đó do biểu thức không bị chặn trên, vậy kết quả là “giá trị vô cùng” hoặc “không xác định”.

Đối số tối ưu[sửa|sửa mã nguồn]

Xét ký hiệu sau đây :

a
r
g

m
i
n

x

(


,

1
]

x

2

+
1
,

{\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}

{\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,}

hay tương đương là

a
r
g

m
i
n

x

x

2

+
1
,

subject to:

x

(


,

1
] .

{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].}

{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].}

Ký hiệu này biểu diễn một hoặc nhiều giá trị của đối số

x

{\displaystyle x}

trong đoạn

(


,

1
]

{\textstyle (-\infty ,-1]}

{\textstyle (-\infty ,-1]}sao cho hàm mục tiêu

x

2

+
1

{\textstyle x^{2}+1}

{\textstyle x^{2}+1}đạt giá trị nhỏ nhất (chứ không yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất đó). Kết quả là

x
=

1

{\displaystyle x=-1}

{\displaystyle x=-1}, do không như ví dụ đầu tiên,

x
=
0

{\displaystyle x=0}

không nằm trong tập khả thi.

Tương tự ,

a
r
g

m
a
x

x

[

5
,
5
] ,

y

R

x
cos

(
y
)
,

{\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),}

{\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),}

hay ký hiệu tương tự

a
r
g

m
a
x

x
,

y

x
cos

(
y
)
,

subject to:

x

[

5
,
5
] ,

y

R

,

{\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}

{\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,}

Biểu diễn một hay nhiều cặp

(
x
,
y
)

{\displaystyle (x,y)}

{\displaystyle (x,y)}làm cho hàm mục tiêu

x
cos

(
y
)

{\displaystyle x\cos(y)}

{\displaystyle x\cos(y)}đạt giá trị lớn nhất, với ràng buộc là x nằm trong đoạn

[

5
,
5
]

{\textstyle [-5,5]}

{\textstyle [-5,5]}. (Một lần nữa, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu không quan trọng, hàm

arg

max

{\displaystyle \arg \max }

{\displaystyle \arg \max }chỉ cho ra cặp

(
x
,
y
)

{\displaystyle (x,y)}

thỏa mãn yêu cầu trên.) Trong trường hợp này, kết quả là các cặp số có dạng

(
5
,

2
k
π
)

{\textstyle (5,\,2k\pi )}

{\textstyle (5,\,2k\pi )}

(

5
,

(
2
k
+
1
)
π
)

{\textstyle (-5,\,(2k+1)\pi )}

{\textstyle (-5,\,(2k+1)\pi )}, với

k

{\displaystyle k}

k là số nguyên tùy ý.

Các nghành con chính[sửa|sửa mã nguồn]

Các kỹ thuật[sửa|sửa mã nguồn]

Đối với các hàm khả vi hai lần (twice-differentiable), có thể giải các bài toán không ràng buộc bằng cách tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm mục tiêu bằng 0 (điểm dừng) và sử dụng ma trận Hesse để xác định xem đó là cực tiểu, cực đại, hay điểm yên ngựa.

Ta hoàn toàn có thể tìm những điểm dừng bằng cách mở màn từ một điểm Dự kiến là điểm dừng rồi tiến về điểm dừng bằng cách lặp đi lặp lại những chiêu thức như
Nếu hàm mục tiêu là hàm lồi trong vùng chăm sóc thì cực tiểu địa phương sẽ là cực tiểu toàn cục. Có những giải pháp số nhanh gọn và hiệu suất cao cho việc tối ưu hóa những hàm lồi khả vi hai lần .

Các bài toán ràng buộc thường có thể được biến đổi thành một bài toán không có ràng buộc bằng phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier).

Dưới đây là 1 số ít giải pháp thông dụng :

Các bài toán trong động lực học vật rắn (cụ thể là động lực học vật rắn chính xác) thường đòi hỏi các kỹ thuật quy hoạch toán học, do ta có thể coi động lực học vật rắn như là việc giải các phương trình vi phân thường (ordinary differential equation) trên một đa tạp ràng buộc (constraint manifold); các ràng buộc là các ràng buộc hình học không tuyến tính đa dạng, chẳng hạn “hai điểm này phải luôn trùng nhau”, “bề mặt này không được xuyên qua các bề mặt khác”, hoặc “điểm này phải nằm đâu đó trên đường cong này”. Ngoài ra, vấn đề tính toán các lực tiếp xúc có thể được thực hiện bằng cách giải một bài toán bù tuyến tính (linear complementarity problem). Dạng bài nài cũng có thể được coi là bài toán quy hoạch bậc hai.

Nhiều bài toán thiết kế cũng có thể được biểu diễn dưới dạng các chương trình tối ưu hóa. Áp dụng này được gọi là tối ưu hóa thiết kế. Một lĩnh vực con mới phát triển trong thời gian gần đây là multidisciplinary design optimization. Nó hữu ích cho nhiều bài toán và đã được áp dụng cho các bài toán kỹ nghệ hàng không (aerospace engineering).

Vận trù học ( operations research ) là nghành nghề dịch vụ sử dụng rất nhiều đến những kỹ thuật tối ưu hóa .

  • Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe (2004). Convex Optimization, Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7.
  • Doãn Tam Hòe, Lý thuyết tối ưu và đồ thị, Nhà xuất bản Giáo dục 2005.

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Phần mềm:

ĐÁNH GIÁ post
Bài viết liên quan

Tư vấn miễn phí (24/7) 094 179 2255